Πυκνότητα Ρητών και Αρρήτων

Ορισμός

Πυκνότητα Ρητών

Η πυκνότητα είναι η ιδιότητα των ρητών αριθμών που μας λέει ότι μεταξύ κάθε δύο πραγματικών αριθμών υπάρχει κάποιος ρητός αριθμός (όσο κοντά και να είναι οι δύο πραγματικοί αριθμοί που επιλέγουμε).

$$\forall x,y \in \mathbb{R} \text{ με } x < y: \exists q \in \mathbb{Q}: x < q < y$$

Διαίσθηση

Βασική Ιδέα

Ο λόγος που ισχύει η ιδιότητα είναι ότι, αν επιλέξουμε έναν μεγάλο παρονομαστή $M$, τότε οι ρητοί αριθμοί:

$$\dots, -\frac{3}{M}, -\frac{2}{M}, -\frac{1}{M}, 0, \frac{1}{M}, \frac{2}{M}, \frac{3}{M}, \dots$$

είναι πολύ πυκνοί (πολύ κοντά μεταξύ τους).

Πόσο πυκνοί θα πρέπει να είναι αυτοί οι ρητοί αριθμοί, ώστε να είμαστε σίγουροι ότι κάποιος από αυτούς είναι μεταξύ του $x$ και του $y$;

Παρονομαστής (M): 5

Πραγματικοί Αριθμοί (x, y) Ρητοί Αριθμοί (k/M)

Απόδειξη

Ολοκλήρωση Απόδειξης

Φτιάξε ένα σχήμα που οπτικοποιεί τη βασική σου ιδέα για την απόδειξη.

Ερωτήσεις Κατανόησης

Ποια βοηθητικά αντικείμενα χρησιμοποιείς στο σχήμα;
Πώς αιτιολογείς την ύπαρξή τους;

Επέκταση

Πυκνότητα Αρρήτων

Από τη θεωρία, ο μόνος άρρητος αριθμός που γνωρίζουμε ότι υπάρχει είναι το $\sqrt{2}$.

(Έχουμε αποδείξει την ύπαρξη των ριζών και επίσης έχουμε αποδείξει ότι δεν υπάρχει ρητός αριθμός που το τετράγωνό του είναι ίσο με το 2).

Μπορούμε να αποδείξουμε τώρα ότι οι άρρητοι αριθμοί έχουν και αυτοί την ιδιότητα της πυκνότητας:

$$\forall x,y \in \mathbb{R} \text{ με } x < y: \exists r \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}: x < r < y$$

Πρόκληση Πώς μπορούμε να αποδείξουμε γρήγορα την πυκνότητα των αρρήτων, χρησιμοποιώντας την ρίζα του 2 και την πυκνότητα των ρητών;